Le stupefacenti proprietà dei triangoli 5-con

Due figure geometriche piane si dicono congruenti quando esiste un movimento rigido (traslazione, rotazione o riflessione) che può portarle a sovrapporsi l'un l'altra in ogni loro punto. Per quanto riguarda i triangoli questo significa che sono congruenti sia i tre angoli che i tre lati, cioè i sei elementi fondamentali in un triangolo.
In qualsiasi corso elementare di Geometria si dimostra la validità dei Tre criteri di congruenza dei triangoli ; tali criteri affermano che condizione necessaria e sufficiente per la congruenza di due triangoli è la congruenza di tre elementi (opportunamente presi) su sei. Ricordo i tre criteri:

1. Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso.
2. Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti.
3. Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti tre lati.

Notare che dei tre elementi congruenti almeno uno deve essere un lato. Nel caso di congruenza dei tre angoli infatti potremmo avere due triangoli simili, cioè con i lati in proporzione ma comunque non congruenti.
I tre criteri forniscono comunque un risultato notevole: dalla congruenza di soli 3 elementi consegue la congruenza anche degli altri tre.

Il mio libro di Geometria (il glorioso Palatini-Faggioli) del liceo dopo aver parlato dei tre criteri, riportava una nota breve e sorprendente : ESISTONO INFINITE COPPIE DI TRIANGOLI CHE HANNO CONGRUENTI 5 ELEMENTI SU 6 MA CHE NON SONO TRIANGOLI CONGRUENTI.
Sembra impossibile vero?

Il Palatini-Faggioli si fermava lì (almeno per quanto ricordo) e non dava esempi concreti di triangoli con tali proprietà. Anch'io in seconda liceo mi fermai lì, ma in quarta ripresi da me l'argomento e mi impegnai a determinare che proprietà dovevano avere i lati di triangoli del genere. E ci riuscii.
Il succo del discorso sta nel determinare che limitazioni deve avere il rapporto di similitudine tra i lati dei due triangoli; bisogna imporre che tale valore soddisfi le disuguaglianze triangolari per quanto riguarda i lati dei triangoli (in un triangolo ogni lato deve sempre essere minore della somma degli altri due lati). Con qualche disequazione di 2° grado si risolve il problema ...

I miei fogli del liceo sono persi da anni ma ho ricostruito un po' di quel lavoro utilizzando per i disegni il software Geogebra , che è ottimo per la Geometria. In questo lavoro mostro come è possibile costruire coppie di triangoli 5-con dando anche molti esempi e chiedendo di svolgere degli esercizi con Geogebra (ma quella parte era rivolta alle mie alunne a cui ho proposto quest'anno anche questo materiale.).

Cliccando sul link triangoli 5-con potete scaricare il file (in formato word o pdf)
oppure lo potete visionare qui sotto nel solito formato iPaper:

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